Partie A : familiarisation avec la quadrature

Dans cette activité, on s'intéresse à la quadrature de l'hyperbole qui consiste à trouver l'aire du domaine délimité par l'hyperbole représentative de la fonction inverse et l'axe des abscisses. L'objectif est d'observer comment le calcul de cette aire permet d'obtenir des valeurs approchées des logarithmes népériens.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0~;+ \infty[\) par \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) et \(\mathcal{H}\) sa courbe représentative.
Pour tout réel \(a\geqslant1\), on note \(\mathcal{A}(a)\) l'aire du domaine délimité par la courbe \(\mathcal{H}\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=1\) et \(x=a\).

Dans le fichier de géométrie dynamique suivant est représentée, dans un repère orthogonal, l'hyperbole, courbe représentative de la fonction inverse ainsi que les droites d'équations \(x=1\) et \(x=a\).

1. À l'aide du curseur, faire varier la valeur de \(a\) et compléter le tableau de valeurs suivant par pas de \(0{,}5\), en arrondissant à \(10^{-4}\) près.

\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline a&~1~&1{,}5&~2~&2{,}5&~3~&3{,}5&~4~&4{,}5&~5~&5{,}5&~6~&6{,}5&~7~\\ \hline \mathcal{A}(a)&&& &\\ \hline \end{array}\end{align*}\)

2. On considère la fonction qui à \(a\) réel supérieur ou égal à \(1\) associe l'aire de la partie du domaine délimité par la courbe \(\mathcal{H}\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=1\) et \(x=a\). À l'aide des observations réalisées dans la question 1. conjecturer :

• la valeur de \(\mathcal{A}(\text{e})\) ;
  
• le signe de la fonction \(\mathcal{A}\) sur \([1~;+\infty[\) ;
  
• les variations de la fonction \(\mathcal{A}\) sur \([1~;+\infty[\).